Urodził się 1 października 1935 r. w Oleszczenicach w woj. wileńskim. W lipcu 1945 r. rodzice przenieśli się do Łagowa Lubuskiego (diecezja zielonogórsko-gorzowska), gdzie ukończył Szkołę Podstawową. Następnie wstąpił do Niższego Seminarium Duchownego w Słupsku, które ukończył egzaminem maturalnym eksternistycznym. W 1951 r. wstąpił do Wyższego Seminarium Duchownego w Gorzowie Wlkp. Udostępnienie pocysterskiego klasztoru w Paradyżu na seminarium w 1952 r. umożliwiło przeniesienie wydziału filozoficznego do Paradyża. Dlatego kl. Antoni przez rok czasu kształcił się w Paradyżu. Studia teologiczne ukończył w 1956 r. Ponieważ nie posiadał wieku kanonicznego do święceń, dlatego został skierowany na Akademię Teologii Katolickiej do Warszawy na studia specjalistyczne z prawa kanonicznego. Od 1957 r. kontynuował studia z prawa kanonicznego w Katolickim Uniwersytecie Lubelskim. Święcenia kapłańskie otrzymał 20 grudnia 1958 r. z rąk bp. Wilhelma Pluty w katedrze gorzowskiej.

Jako kapłan kontynuował studia w Lublinie, które ukończył doktoratem z prawa kanonicznego w 1961 r. Młodego ks. doktora prawa kanonicznego bp W. Pluta mianował notariuszem Sądu Biskupiego w Gorzowie Wlkp. dekretem z 10 sierpnia 1961 r., a dekretem z 26 października 1965 r. czasowo wiceoficjałem tegoż Sądu. W 1966 r. otrzymał nominację na notariusza w Kurii Biskupiej. W roku akademickim 1966/67 pracował jako adiunkt w Akademii Teologii Katolickiej w Warszawie.

Zaraz po Bożym Narodzeniu w 1967 r. wyjechał na dalsze studia do Rzymu. Bp W. Pluta starał się w Watykanie o odznaczenie dla ks. Antoniego Stankiewicza. Owocem tych zabiegów było mianowanie go w roku 1971 Kapelanem Jego Świątobliwości Pawła VI.

Studia z prawa cywilnego na Uniwersytecie Laterańskim w latach 1968-70 ukończył stopniem licencjata, a doktorat z tegoż prawa uzyskał w 1975 r. Równocześnie przygotowywał się do pracy w Trybunale Roty Rzymskiej przez specjalne studium, które ukończył dyplomem Adwokata Roty w 1970 r., oraz studia z teologii pastoralnej na Uniwersytecie Laterańskim w latach 1973-1975.

W 1972 r. ukończył Wyższą Szkołę Języka Łacińskiego na Uniwersytecie Gregoriańskim. Gdy do tego doda się jeszcze korzystanie z kursów języków nowożytnych, to wówczas dopiero uzyskuje się obraz kapłana niezwykłej wprost pracowitości i systematyczności. A to zaowocowało gruntownym i wszechstronnym wykształceniem, którym imponuje wszystkim przy wielkiej skromności.

Pracę w Trybunale Roty Rzymskiej rozpoczął w 1969 r. w kancelarii. Nominację na prałata audytora, czyli sędziego otrzymał 14 lutego 1978 r. 31 stycznia 2004 r. mianowany przez Ojca Świętego Jana Pawła II Dziekanem Trybunału Roty Rzymskiej. Znany jest jako profesor wyższych uczelni w Rzymie. Od 1980 r. prowadził wykłady na wydziale prawa kanonicznego Uniwersytetu Gregoriańskiego, a od 1995 r. także w Uniwersytecie Santa Croce. Przez 2 lata prowadził wykłady z prawa kanonicznego na Uniwerystecie Urbaniana.

Przez wiele lat pełnił funkcję przewodniczącego Komisji Dyscyplinarnej Państwa Watykańskiego. Był sędzią w Sądzie Apelacyjnym Państwa Watykańskiego i od ponad dwudziestu lat konsultorem w Kongregacji ds. Duchowieństwa.

Zdumiewała wielość obowiązków, jakie spełniał bp Antoni w Trybunale Roty, na uniwersytetach rzymskich i w Państwie Watykańskim.